Il rendimento annuo da solo non dice niente

Undici e otto per cento in dodici mesi. È un numero che si legge in un secondo, entra in una conversazione senza attriti e non permette di rispondere a nessuna delle domande che contano: quanto capitale è stato esposto per ottenerlo, quanto è sceso il conto nel frattempo, quante operazioni lo hanno prodotto.

La serie usata in questo articolo produce esattamente quel risultato annuo, e allo stesso tempo contiene una discesa del quattordici per cento dal punto più alto, con il conto che a fine anno non ha ancora recuperato il massimo toccato in primavera. Le due descrizioni riguardano la stessa curva.

Quello che segue misura quattro grandezze sulla stessa sequenza di risultati mensili, mostrando il calcolo per intero. È un esercizio di misura: descrive come si leggono gli indicatori, non contiene indicazioni operative e non suggerisce alcun comportamento sui mercati.

Le quattro misure e che cosa dicono

• Rendimento complessivo. Dice quanto è cresciuto il capitale e nient’altro: non contiene alcuna informazione sul percorso.
• Discesa massima dal picco. Misura la peggiore perdita subita da chi fosse entrato nel momento peggiore, ed è la grandezza più concreta delle quattro.
• Rapporto di Sharpe. Mette il rendimento medio sopra la variabilità complessiva, trattando allo stesso modo gli scarti verso l’alto e verso il basso.
• Rapporto che guarda solo le perdite. Corregge il difetto precedente considerando la sola variabilità negativa, e restituisce sempre un valore più alto.
• Nessuna vale da sola. Le quattro insieme descrivono una curva; una qualunque presa singolarmente ne descrive un aspetto e ne nasconde tre.

Perché un rendimento annuo isolato non contiene informazione

Due sequenze di risultati mensili possono chiudere l’anno sullo stesso valore avendo attraversato percorsi che nessuno definirebbe simili. La prima sale con regolarità, la seconda guadagna il doppio nei primi tre mesi e restituisce metà nei successivi nove. Il numero finale è identico.

La differenza pratica riguarda chi quel capitale lo detiene. Nella prima sequenza il momento peggiore è una discesa contenuta; nella seconda esiste un periodo prolungato in cui il conto vale meno del massimo raggiunto, e questo è ciò che si sperimenta davvero mentre accade. Un indicatore che non distingue le due situazioni non sta misurando quello che interessa.

C’è poi un problema di orizzonte. Un rendimento riferito a un anno solare dipende dalla data di inizio: spostare l’inizio di due mesi cambia il numero in modo consistente, senza che nulla sia cambiato nella regola che ha prodotto i risultati. È la ragione per cui una singola cifra annua non è confrontabile con nessun’altra singola cifra annua.

La serie su cui si fa il conto

La sequenza che segue è una serie di dodici risultati mensili usata come esempio di calcolo. Il capitale iniziale è cento, per comodità: qualunque importo produce le stesse percentuali.

Il conto chiude a 111,75, quindi il rendimento complessivo del periodo è dell’11,75 per cento. La quarta colonna, che quasi nessuno costruisce, contiene già la risposta alla domanda più importante: il massimo raggiunto al terzo mese non viene più superato per il resto dell’anno.

Il drawdown massimo si misura dal picco, non dall’inizio

Il drawdown massimo è la distanza percentuale più ampia fra un massimo raggiunto dalla curva e il minimo successivo, prima che quel massimo venga superato. Si calcola confrontando ogni valore con il massimo di tutti i valori precedenti, mai con il capitale iniziale.

Sulla serie dell’esempio il massimo è 112,07, toccato al terzo mese. Il minimo successivo è 96,25, al settimo. La differenza è 15,82 punti su 112,07, cioè il 14,1 per cento. È questa la peggiore perdita che la curva ha inflitto, e non compare in nessun modo nel rendimento annuo.

L’errore più comune consiste nel misurare la discesa rispetto al punto di partenza. Rispetto a cento, il minimo di 96,25 rappresenta una perdita del 3,75 per cento, un numero che sembra trascurabile e che non descrive l’esperienza di nessuno. Chi era presente al terzo mese ha visto il proprio capitale scendere del quattordici per cento, e quella è la grandezza rilevante per capire quanto si muovono davvero questi mercati.

Il tempo sotto il massimo conta quanto la profondità

Accanto alla profondità esiste una seconda dimensione che quasi nessuno riporta: la durata. Si misura in due modi, e conviene tenerli separati. Il tempo che passa dal picco al minimo, e il tempo che passa dal picco al momento in cui il picco viene superato di nuovo.

Nella serie dell’esempio la discesa dura quattro mesi, dal terzo al settimo. Il recupero, invece, non avviene mai: a fine anno il conto vale 111,75 contro un massimo di 112,07, quindi la curva ha trascorso nove mesi su dodici al di sotto del proprio massimo. Un rendimento annuo positivo convive con una situazione di questo tipo senza alcuna contraddizione aritmetica.

Esiste un terzo modo di guardare la stessa cosa, ed è quello più severo: la quota di tempo trascorsa sotto il massimo precedente. Si calcola contando i mesi in cui il valore del conto è inferiore alla quarta colonna della tabella e dividendo per il totale. Nella serie dell’esempio sono nove mesi su dodici, cioè il settantacinque per cento del periodo, un dato che nessuno riporta mai accanto al rendimento annuo.

La durata pesa perché è la variabile che le persone sopportano peggio. Una discesa profonda e rapida viene ricordata come un episodio; una discesa modesta che si prolunga per otto mesi produce l’abbandono della regola, che è il modo più diffuso di trasformare un risultato accettabile in una perdita definitiva.

Come si calcola il rapporto di Sharpe, passaggio per passaggio

Il rapporto di Sharpe divide il rendimento medio in eccesso rispetto a un tasso privo di rischio per la deviazione standard dei rendimenti. Sulla serie dell’esempio, ponendo per semplicità quel tasso pari a zero, il calcolo si svolge in quattro passaggi.

1. Somma dei dodici risultati mensili: +14,0 punti percentuali complessivi.
2. Media aritmetica mensile: 14,0 diviso 12, cioè 1,17 per cento al mese.
3. Deviazione standard dei dodici valori rispetto a quella media: 7,15 per cento.
4. Rapporto mensile: 1,17 diviso 7,15, cioè 0,16.

Il numero che si legge di solito è però quello annualizzato, ottenuto moltiplicando il rapporto mensile per la radice quadrata di dodici, cioè per 3,46. Il risultato è circa 0,57. È un valore che va sempre accompagnato dal periodo su cui è stato calcolato, perché su dodici osservazioni la sua stima è molto imprecisa.

Da notare che la media aritmetica dei risultati mensili, 1,17 per cento, moltiplicata per dodici darebbe 14 per cento, mentre la crescita effettiva del capitale è dell’11,75. La differenza nasce dalla composizione delle perdite ed è una delle ragioni per cui le medie di percentuali vanno maneggiate con attenzione, come ricorda la documentazione informativa pubblicata dalla Consob.

Che cosa nasconde il rapporto di Sharpe

Il difetto più noto è la simmetria. La deviazione standard tratta allo stesso modo un mese in guadagno del dieci per cento e un mese in perdita del dieci per cento: entrambi aumentano il denominatore e quindi peggiorano l’indicatore. Una serie che guadagna molto in pochi mesi viene penalizzata come una che perde molto.

Il secondo difetto riguarda la forma della distribuzione. Il rapporto assume implicitamente che i rendimenti si distribuiscano in modo regolare, mentre le serie osservate sui mercati presentano code più spesse, cioè eventi estremi più frequenti di quanto la formula preveda. Una strategia che produce molti piccoli guadagni e rare perdite molto ampie mostra un rapporto elevato proprio nel periodo in cui la perdita rara non si è ancora verificata.

Il terzo difetto è la dipendenza dalla frequenza di misura. Lo stesso insieme di operazioni misurato su base giornaliera, settimanale o mensile produce rapporti diversi, e l’annualizzazione tramite la radice quadrata amplifica la differenza. Confrontare due valori calcolati su frequenze diverse è un errore che si commette continuamente.

Il rapporto che guarda solo le perdite

La variante più usata per correggere la simmetria sostituisce la deviazione standard con la deviazione dei soli rendimenti negativi. L’idea è semplice: la variabilità verso l’alto non è un problema per nessuno, quindi non deve entrare nel denominatore.

Sulla serie dell’esempio i mesi negativi sono cinque: -3, -12, -8, -5 e -2 per cento. La deviazione calcolata sui soli scarti negativi vale 4,53 per cento, contro i 7,15 della deviazione completa. Il rapporto mensile diventa 0,26 e quello annualizzato circa 0,89, contro lo 0,57 precedente.

Il salto da 0,57 a 0,89 non descrive un miglioramento: descrive un cambio di strumento. È il motivo per cui il valore va sempre presentato insieme al nome della misura usata, e per cui due rapporti calcolati con convenzioni diverse non si confrontano. Esiste anche una terza misura, che divide il rendimento annuo per la discesa massima: sulla serie dell’esempio vale 11,75 diviso 14,1, cioè 0,83.

Le quattro misure sulla stessa serie

Un dettaglio che si nota solo mettendo i quattro numeri vicini: il rapporto sulle sole perdite è più alto del cinquanta per cento rispetto a quello classico, mentre il rapporto fra rendimento e discesa massima resta sotto l’unità. Le due letture sembrano contraddirsi e non lo sono, perché misurano cose diverse: la prima guarda la dispersione mese per mese, la seconda guarda il singolo evento peggiore dell’intero periodo.

Letta per righe, la tabella descrive una curva che cresce poco, scende in modo significativo una volta e passa la maggior parte dell’anno sotto il proprio massimo. Nessuna delle quattro righe da sola avrebbe permesso di arrivarci, ed è questo il senso di calcolarle tutte.

Perché l’annualizzazione è la parte più fragile

Moltiplicare per la radice quadrata del numero di periodi presuppone due cose: che i rendimenti siano indipendenti fra loro e che la loro variabilità resti stabile nel tempo. Entrambe le ipotesi sono comode e nessuna delle due descrive bene le serie osservate.

Quando i risultati mostrano persistenza, cioè periodi negativi che tendono a seguire periodi negativi, la variabilità reale su orizzonte annuo è superiore a quella che la radice quadrata stima, e il rapporto annualizzato risulta troppo generoso. Quando la variabilità cambia regime, il numero calcolato su un periodo tranquillo non descrive il periodo successivo.

La conseguenza pratica è una sola: il valore annualizzato va trattato come un ordine di grandezza, mai come una misura precisa. Riportarlo con due decimali dà un’impressione di accuratezza che i dati non sostengono, soprattutto quando le osservazioni sono poche, e questo vale sia per chi opera su orizzonti brevi sia per chi ragiona su periodi molto più lunghi.

Quante osservazioni servono perché il numero significhi qualcosa

Dodici osservazioni mensili sono poche per qualunque scopo. L’incertezza sulla stima di un rapporto di questo tipo si riduce lentamente al crescere del campione, e con un anno di dati l’intervallo entro cui il valore vero potrebbe trovarsi è tanto ampio da comprendere sia risultati mediocri sia risultati molto buoni.

Un criterio pratico usato spesso richiede almeno una trentina di osservazioni per la deviazione standard e un numero di operazioni ben superiore per qualunque affermazione sulla regola che le ha prodotte. Con meno, il numero si può calcolare ma non si può usare per confrontare due alternative.

Vale anche il ragionamento inverso, ed è più utile. Se una serie di dodici mesi produce un rapporto molto alto, la spiegazione più probabile non è la qualità della regola ma la brevità del periodo, e la verifica giusta consiste nel cercare le condizioni di mercato che hanno favorito quel risultato. Chi lavora con strumenti di analisi quantitativa conosce bene questa asimmetria, così come la conoscono le autorità che vigilano sulla comunicazione dei risultati passati, fra cui l’autorità europea degli strumenti finanziari e dei mercati.

Domande frequenti

Un rapporto di Sharpe superiore a uno indica una buona strategia?

Indica che nel periodo misurato il rendimento medio è stato superiore alla variabilità dei rendimenti, nulla di più. Il valore dipende dalla frequenza di misura, dalla lunghezza del campione e dal tasso di riferimento usato. Senza queste tre informazioni il numero non è confrontabile con nessun altro.

Perché il drawdown massimo si calcola dal picco e non dal capitale iniziale?

Perché la perdita percepita e quella patrimonialmente rilevante si misurano rispetto al valore più alto raggiunto, non rispetto al punto di partenza. Un conto che sale del cinquanta per cento e poi scende del trenta non ha perso rispetto all’inizio, ma ha inflitto una perdita del trenta per cento a chi lo osservava dal massimo.

Quale delle quattro misure va guardata per prima?

La discesa massima, perché è l’unica espressa in una grandezza direttamente sperimentabile e non richiede ipotesi statistiche. Le altre tre servono a qualificare quel numero, ma nessuna lo sostituisce.

Il rapporto che considera solo le perdite è sempre preferibile?

È preferibile quando la distribuzione dei risultati è asimmetrica, cioè quasi sempre. Restituisce però un valore sistematicamente più alto, e questo lo rende un candidato ideale per presentazioni poco oneste. Il criterio è dichiarare quale misura si sta usando e mantenerla per tutti i confronti.

Come si confrontano due serie di lunghezza diversa?

Riducendole allo stesso periodo comune e ricalcolando tutto su quello. Confrontare un rapporto stimato su dieci anni con uno stimato su otto mesi non ha significato, perché il secondo ha un’incertezza molto maggiore e può risultare più alto per il solo effetto della brevità.

La cifra annua è l’unica delle quattro che si può riportare senza spiegare niente, ed è anche l’unica che da sola non permette di rispondere a nessuna domanda. Le altre tre richiedono un foglio di calcolo e mezz’ora, e sono quelle che descrivono che cosa è successo davvero fra il primo e l’ultimo mese.